Trójkąt Sierpińskiego

 

 

Otwórz aplet 

Trójkąt Sierpińskiego

Łącząc odcinkami  środki A₁, B₁, C₁ boków trójkąta ABC, otrzymujemy trójkąt równoboczny A₁ B₁ C₁, wpisany w trójkąt ABC. Otrzymaliśmy pole T₁ trójkąta A₁ B₁ C₁. W każdy z trzech trójkątów równobocznych AA₁C₁, BA₁B₁, CB₁C₁ analogicznie wpisujemy trójkąt równoboczny i obliczamy sumę T₂ pól otrzymanych trzech trójkątów. Następnie w każdy z dziewięciu pozostałych trójkątów analogicznie wpisujemy trójkąty równoboczne i obliczamy sumę T₃ pól wszystkich dziewięciu trójkątów. Opisany proces wpisywania trójkątów równobocznych powtarzamy n razy (n należy do N) i obliczamy sumę T_n pól trójkątów otrzymanych w n-tym etapie tego procesu.

 

a) Oblicz sumę T_n pól trójkątów równobocznych otrzymanych w n-tym etapie algorytmu wpisywania trójkątów równobocznych w trójkąt ABC

a={a₁, a₂, a₃, …}

b) Niech:

S₁=T₁
S₂=T₁+T₂

…

S_n=T₁+3∙T₂+9∙T₃+_…+3^n-1 ∙T_n

Obliczyć granicę S_n, n dąży do nieskończoności. Podać interpretację otrzymanego wyniku.

Udowodnimy, że ciąg T₁, T₂, T₃, …, T_n jest nieskończonym ciągiem geometrycznym. Istotnie:

Wobec tego (T_n) dla nϵN jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o ilorazie q=3/4. Wiemy, że

 

 

Drzewo fraktalne

W niezwykły sposób uhonorowano polskiego matematyka.  Przed wydziałem matematyki Cambridge University, jednego z najlepszych uniwersytetów na świecie, stanęło drzewo fraktalne oparte na odkryciu polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego.

Źródło: polskieradio.pl

Post nr 149